Expressive power of circular proofs ; Puissance expressive des preuves circulaires

This research aims at establishing the fundamental properties of a formal system with circular proofs introduced by Santocanale, to which we added the cut rule. We first show that there is a full correspondence between circular proofs and arrows from the so-called µ-bicomplete categories. These arrows are those that can be defined purely from the following tools: finite products and coproducts, initial algebras and final coalgebras. In the category of sets, circular proofs denote functions that one can define by using finite cartesian products, finite disjoint unions, induction and coinduction. We also describe a cut-elimination procedure that produces, from a given finite circular proof, a proof without cycles and cuts, but which may be infinite. We prove that cut-elimination gives an operational semantics to circular proofs, which is to say that they allow to compute the functions denoted by them, by using a sort of automaton with memory. Finally, we are interested in finding the expressive power of that cut-eliminating automaton. In other words, we want to characterize the class of functions that it can compute. We show, through a simulation, that the cut-eliminating automaton is strictly more expressive than higher-order pushdown automata. ; Cette recherche vise à établir les propriétés fondamentales d'un système formel aux preuves circulaires introduit par Santocanale, auquel on a rajouté la règle de coupure. On démontre, dans un premier temps, qu'il y a une pleine correspondance entre les preuves circulaires et les flèches issues des catégories dites µ-bicomplètes. Ces flèches sont celles que l'on peut définir purement à partir des outils suivants: les produits et coproduits finis, les algèbres initiales et les coalgèbres finales. Dans la catégorie des ensembles, les preuves circulaires dénotent donc les fonctions qu'on peut définir en utilisant les produits cartésiens finis, les unions disjointes finies, l'induction et la coinduction. On décrit également une procédure d'élimination des coupures qui ...