Analytical solution of the elastic impact problem for a cone over a half-space

Using the main provisions of the theory of H. Hertz on the mechanical impact of solids, the dynamic interaction of an elastic cone with an elastic half-space bounded by a flat surface is considered. The case is investigated when the axis of the cone of rotation is perpendicular to the boundary of the half-space, and the initial point of contact of the bodies is the vertex of the cone. To describe the local deformations of bodies in the zone of their interaction, the well-known solution of the axisymmetric static contact problem of the theory of elasticity, constructed by I. Ya. Shtaermann, is used. The problem of the collision of bodies is reduced to a second-order differential equation with quadratic nonlinearity. Two forms of analytical solution of this nonlinear Cauchy problem are obtained. The first uses the Ateb-sine, and the second uses the elliptical cosine. The equivalence of the obtained forms of solutions is established, that is, the possibility of replacing one form with another. To calculate the values of the Ateb-sine using the linear interpolation method, a special table is presented, and an analytical approximation by its elementary functions is proposed. The consistency of the results to which these two methods of approximate calculation of the Ateb-sine values are shown is shown. An approximate formula for calculating the values of the elliptic cosine is also derived and its reliability is confirmed. As a result of solving the impact problem, formulas were obtained that describe the change over time: the convergence of the centers of mass of the bodies, the forces of impact interaction, the radius of the circular contact area and the contact pressure. It is noted that the pressure is infinite in the center of the site, where the top of the cone is in contact with the half-space. The results are compared, to which two analytical forms of the solution result and numerical computer integration of the differential equation of compression of bodies subje

С использованием основных положений теории Г. Герца о механическом ударе твердых тел рассмотрено динамическое взаимодействие упругого конуса с упругим полупространством, ограниченным плоской поверхностью. Исследован случай, когда ось конуса вращения перпендикулярна к границе полупространства, а начальной точкой контакта тел является вершина конуса. Для описания местных деформаций тел в зоне их взаимодействия использовано известное решение осесимметричной статической контактной задачи теории упругости, построенное И.Я. Штаерманом. Задача соударения тел сведена к дифференциальному уравнению второго порядка с квадратичной нелинейностью. Получено две формы аналитического решению этой нелинейной задачи Коши. В первой использовано Ateb-синус, а во второй – эллиптический косинус. Установлена равнозначность полученных форм решений, то есть возможность замены одной формы на другую. Для вычисления значений Ateb-синуса методом линейной интерполяции представлена специальная таблица, а также предложена аналитическая аппроксимация его элементарными функциями. Показана согласованность результатов, к которым приводят эти два способа приближенного расчета значений Ateb-синуса. Выведена также приближенная формула для вычисления значений эллиптического косинуса и подтверждена ее достоверность. По итогам решения задачи удара получено формулы, которые описывают изменение во времени: сближения центров масс тел, силы ударного взаимодействия, радиуса круговой площадки контакта и контактного давления. Отмечено, что давление бесконечно в центре площадки, где вершина конуса контактирует с полупространством. Проведено сравнение результатов, к которым приводят две аналитические формы решения и численное компьютерное интегрирование дифференциального уравнения сжатия тел, подвергнутых удару. Установлено хорошее согласование численных результатов, полученных разными способами. Исследовано влияние угла конусности на основные параметры динамического взаимодействия тел. Показано, что увеличение угла

З використанням основних положень теорії Г. Герца про механічний удар твердих тіл розглянуто динамічну взаємодію пружного конуса з пружним півпростором, обмеженим плоскою поверхнею. Досліджено випадок, коли вісь конуса обертання перпендикулярна до границі півпростору, а початковою точкою контакту тіл є вершина конуса. Для опису місцевих деформацій тіл в зоні їх взаємодії використано відомий розв’язок вісесиметричної статичної контактної задачі теорії пружності, побудований І.Я. Штаєрманом. Задача співудару тіл зведена до диференціального рівняння другого порядку з квадратичною нелінійністю. Одержано дві форми аналітичного розв’язку цієї нелінійної задачі Коші. В першій використано Ateb-синус, а в другій – еліптичний косинус. Встановлено рівнозначність отриманих форм розв’язку, тобто можливість заміни однієї форми на іншу. Для обчислення значень Ateb-синуса методом лінійної інтерполяції подана спеціальна таблиця, а також запропонована аналітична апроксимація його елементарними функціями. Показана узгодженість результатів, до яких призводять ці два способи наближеного розрахунку значень Ateb-синуса. Виведена також наближена формула для обчислення значень еліптичного косинуса і підтверджена її вірогідність. За результатами розв’язання задачі удару отримано формули, що описують зміну у часі: зближення центрів мас тіл, сили ударної взаємодії, радіуса кругової площадки контакту та контактного тиску. Відзначено, що тиск нескінченний в центрі площадки, де вершина конуса контактує з півпростором. Проведено порівняння результатів, до яких призводять дві аналітичні форми розв’язку та числове комп’ютерне інтегрування диференціального рівняння стискання тіл, підданих удару. Встановлена гарна узгодженість числових результатів, одержаних різними способами. Досліджено вплив кута конусності на основні параметри динамічної взаємодії тіл. Показано, що збільшення кута конусності тіла, яке вдаряє, призводить до зменшення максимального динамічного стискання тіл і тривалості їх взаємодії